La falacia del jugador

La falacia del jugador

Vamos a ponernos en situación: Casino de Montecarlo, 18 de Agosto de 1913 la bola sale despedida de las manos del crupier empieza su veloz recorrido por el exterior de la ruleta. La gente se agolpa al rededor de la mesa esperando con atención el final de la frenetica carrera de la caprichosa bolita blanca. Al cabo de unos segundos y varios rebotes acaba parándose en una casilla negra. Un sentimiento de estupor generalizado se apodera del ambiente mientras el crupier retira del tapete una pila inmensa de fichas colocadas en el rojo. Solo unos pocos ven doblada su apuesta al negro. Los jugadores doblan y triplican sus stakes de nuevo al rojo, el negro aparece de nuevo con una cantidad de fichas infima comparada con su rival. El 'rien ne va plus' del crupier anunciaba que las apuestas estaban cerradas y daba el pistoletazo de salida a una nueva carrera de la bola blanca que vuelve a tener el mismo final: una casilla negra. Era la vigesimo sexta vez que pasaba esto. El casino ese día se embolsó varios millones de francos y quedará tremendamente agradecido a la Falacia del Jugador. Desde ese día también conocida como la falacia Montecarlo.

Si rebobinamos un poco en el tiempo y nos colocamos en la tirada en la que ya habían salido 20 veces seguidas el negro, no nos sería dificil encontrar a alguien que basándose en las probabilidades nos anunciase que la probabilidad de salir 21 veces seguida negro es prácticamente cero con lo que la apuesta al rojo es absolutamente segura. Un negocio redondo... para el casino, claro. El razonamiento ilustra perfectamente lo que se conoce como la Falacia del Jugador, pensar que un acontecimiento futuro tiene 'memoria' de lo que ha ocurrido anteriormente. La probabilidad de salir 21 veces seguidas un negro es prácticamente 0, eso es verdad, es exactamente 0.5 x 0.5 ... 21 veces. Algo así como una entre 20 millones. Pero es que la probabilidad de que saliesen 20 veces seguidas un negro y en la tirada 21, una rojo, es EXACTAMENTE LA MISMA.

Tanto los lanzamientos de la bola en la ruleta, como los de un dado o los de una moneda, son sucesos INDEPENDIENTES y sus resultados son EQUIPROBABLES, es decir, que tienen todos la misma probabilidad de aparecer y no tiene ninguna influencia sobre ellos todo lo que haya acontecido en el pasado.

Muchas de las maravillosas estrategias que aparecen anunciadas a bombo y platillo por webs y revistas, se basan en explotar este hecho. Así que mi consejo es que no hagaís caso de ellas porque como dijo en su dia Albert Einstein:

"La unica manera de ganar a la ruleta es robar el dinero cuando el crupier no mire"

No se si sabría mucho sobre casinos y ruletas, pero de números algo de idea tenía.

Pero no os preocupeis si alguna vez habeis podido pensar que la bolita tiene memoria, porque incluso los supervisores de los casinos tienen esas ideas. El 14 de Julio del año 2000, exactamente a las 13 horas y 35 minutos en el Caesars Palace el número siete había salido 4 veces seguidas en la ruleta 211. El supervisor de planta en ese momento le dijo al jefe de sala: "te apuesto un millon de dolares a que no sale otra vez...."

¿Quereis saber el final de la historia?. Pues la bolita en la siguiente tirada se paró en la casilla 7, y en la tirada de después LO VOLVIO A HACER!!!!!. La probabilidad de que esto suceda... nada, solo 1 vez de cada 3011 millones. ¿Alguien da mas?.

Relacion entre cuota y probabilidad

Relacion entre cuota y probabilidad

Como ya hemos comentado en otras entradas existe una relación inversa entre la cuota y la probabilidad. Esto quiere decir que cuanto mayor es la cuota menor es la probabilidad teórica de que aparezca ese resultado.

En un juego justo, donde ninguno de los dos jugadores ganaría usando una estrategia de picks aleatorios a largo plazo, esta relación viene determinada por la siguiente fórmula:

Probabilidad = 1 / Cuota

Sin embargo ante las casas de apuestas tradicionales no estamos jugando a un juego justo. Las casas ofrecen unas cuotas relacionadas con la probabilidad de que aparezca ese resultado pero no podemos calcularla directamente con esta ecuación. Veamos por qué y como se puede calcular la probabilidad estimada de cada evento partiendo de las cuotas ofrecidas.

Tomaremos como ejemplo las cuotas que teníamos para el resultado exacto de sets, en el partido de Nadal contra Verdasco:

Nadal 3-0 @1.7
Nadal 3-1 @2.9
Nadal 3-2 @7
Verdasco 3-0 @25
Verdasco 3-1 @14.1
Verdasco 3-2 @13.5

Aquí tenemos todos los resultados posibles del partido. Si apostasemos la cantidad exacta para ganar 1 ud. a todos los resultado, al final del partido acertaríamos siempre uno de ellos y nuestro retorno sería de 1 ud. Estaríamos ante un suceso cierto o seguro. Pero ¿cuanto nos costaría esta apuesta?. Vamos a calcularlo.

Para el primer resultado si apostamos 1/1.7 = 0.588 uds nos devolverían 1 ud si Nadal gana 3-0, ya que apostaríamos 1/1.7 uds. a una cuota 1.7 con lo que el retorno sería de 1/1.7 x 1.7 = 1

Haciendo la misma operación con todos los resultados posibles tendríamos:


Para cada una de las opciones hemos apostado las unidades necesarias para que nos devuelvan 1 ud si acertamos (Apuesta Ganancia Unitaria). Al final, como ya hemos dicho, acertaremos una de ellas seguro con lo que la casa nos pagará 1 ud, pero hacer todas estas apuestas nos habrá costado un total de 1.26 uds. Es decir perderemos 0.26 uds por cada 1.26 uds. apostadas (un 20.6%). Mal negocio.

Visto desde el punto de vista de la casa, la cosa cambia. Pase lo que pase en el partido la casa va a pagar 1 ud y va a ingresar 1.26. Es decir va a pagar 1/1.26 = 79.31% de lo que ingresa, a esto se le llama fracción de pago. Si paga el 79.31% de lo que ingresa, ofertando estas cuotas, eso quiere decir que va a tener unos beneficios de 100 - 79.31 = 20.69%. ¡Justamente lo que nosotros perdemos!

Evidentemente la ecuación Probabilidad = 1 / Cuota no puede ser correcta en este tipo de juegos. Ya que 1 / Cuota es lo que nosotros hemos llamado Apuesta Ganancia Unitaria y la suma total de todas nuestras apuestas es 1.26 cuando debería ser 1, puesto que estamos ante la suma de las probabilidades de un suceso cierto. Entonces, ¿Cuales son las probabilidades correctas?. El cálculo sigue siendo bastante sencillo, añadiremos el término de la fracción de pago a la ecuación y con ello tendremos las probabilidades estimadas correctas. Así la ecuación quedaría:

Probabilidad = Fracción de pago / Cuota

Todo estos cálculos los he colocado en un nuevo libro de GoogleDocs que podeis encontrar en este enlace, y lo utilizaremos en la siguiente entrada para analizar los resultados esperados de apuestas equivalentes. Pero eso será otro día.

Los Sucesos: Definición y Clases

Los Sucesos: Definición y Clases

Para introducirnos en el mundo de los sucesos haremos una breve parada en los espacios muestrales y sus conclusiones. Entenderemos por espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Este experimento aleatorio lo definiremos como aquél que bajo el mismo conjunto de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado de cada experiencia particular.

El ejemplo más claro es el lanzamiento de una moneda o de un dado. Al espacio muestral se le suele denominar "E" y se entiende por punto muestral cada uno de los elementos que lo forman. En nuestros dos ejemplos básicos sería:

Lanzar una moneda => E = {cara,cruz}
Lanzar un dado => E = {1,2,3,4,5,6}

------------------------ X ------------------------

Tras esta pequeña introducción pasamos a la definición de suceso. Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral "E". El conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio se conoce como espacio de sucesos y se representa por "S".

Ante este atropello de definiciones podemos llegar a pensar que suceso y punto muestral es lo mismo, pero realmente no lo es. Un ejemplo claro lo podemos ver con el lanzamiento del dado, un suceso sería por ejemplo que salga número par, para lo cuál no servirían los puntos muestrales [2,4,6]. De ahí las diferencias entre unos y otros.

En la práctica sobre cada espacio muestral, asociaremos un espacio de sucesos. Como ejemplo para lanzar una moneda al aire, tendremos el siguiente cuadro:

E= {Cara, Cruz}
S= {{Ø}, {Cara}, {Cruz}, {Cara,Cruz}}

Llevado prácticamente al mundo de nuestras apuestas, consideremos el partido de la final pasada de Wimbledon que enfrentó a Roger Federer y Rafael Nadal. El esquema sería:

E= {Federer, Nadal}
S= {{No Gana Nadie}, {Federer}, {Nadal}, {Ganan Ambos}}

De este ejemplo sacaremos los diferentes tipos de sucesos que se nos pueden presentar:

1. Suceso Elemental: aquéllos formados por un único punto muestral.
2. Suceso Compuesto: aquéllos formados por dos o más puntos muestrales.
3. Suceso cierto o seguro: el que siempre se realiza, es decir, coincide con el espacio muestral y estará formado por todos los resultados posibles del experimento.
4. Suceso Imposible: se designa por "Ø" y es aquél que no se realiza nunca. En nuestro espacio de sucesos siempre aparecerán el suceso cierto y el imposible.
5. Suceso Contrario: dado un suceso cualquiera A del espacio de sucesos S, se denomina suceso contrario del suceso A al suceso que se realiza cuando no se realiza A y recíprocamente. Se designa por à o A'. El conjunto A' está formado por los puntos muestrales de E que no pertenecen a A.
   

Por tanto, el suceso contrario del suceso cierto es el imposible y viceversa:

E'=Ø → Ø'=E

Para terminar la entrada, parafrasearemos al matemático francés Henri Poncaré (1854-1917) cuya foto hemos dejado en la mitad del texto, que dijo: "El azar es la medida de nuestra ignorancia", dándonos a entender que en los fenómenos en los que interviene el azar no podermos predecir su resultado de antemano, pero intentaremos limitar los resultados.